Schwerpunkt reelle
Geometrie und Algebra

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Forschungsschwerpunkt Reelle Geometrie und Algebra


Der Schwerpunkt beschäftigt sich mit spezifisch reellen Fragen in Geometrie und Algebra. Dabei werden geometrische und algebraische Objekte studiert, die bei der Modellierung der "realen" Welt auftreten. Typischerweise sind dafür die reellen Zahlen der Grundbaustein, etwa entsprechend einer Geraden oder der Zeitachse. Die klassische algebraische Geometrie baut dagegen auf den komplexen Zahlen auf. Das erlaubt bei vielen Fragen leichtere und übersichtlichere Antworten, geht aber auf Kosten des Bezugs zur Realität --- im doppelten Wortsinn. Auch werden typischerweise Aspekte ausgeklammert, die gerade bei "realen" Fragen wichtig sind, wie zum Beispiel Positivität.

Obwohl bei den Geometern des 19. Jahrhunderts das Interesse an reellen Fragen vielfach hoch war, hat die reelle Geometrie im 20. Jahrhundert lange Zeit ein Schattendasein geführt. Aus diesem begann das Gebiet erst in den 70er und 80er Jahren herauszutreten, als eine zunehmend stürmische Entwicklung einsetzte. Die Entwicklung neuer algebraischer und geometrischer Methoden machte Fragen angreifbar, die bis dahin jenseits aller Möglichkeiten gelegen hatten. Angefacht durch einige aufsehenerregende Erfolge und eine immer noch zunehmende Nachfrage aus Anwendungsgebieten hält dieser Trend unvermindert an.

Die Konstanzer Arbeitsgruppe in reeller Geometrie besteht erst seit einigen Jahren und befindet sich noch im Aufbau. Die Aktivitäten der Konstanzer Forscher umfassen sowohl geometrische wie algebraische Aspekte. Einige Hauptgebiete, an denen in Konstanz gearbeitet wird, sind

  • Algebraische Geometrie von reellen Varietäten
  • Positive Polynome und Summen von Quadraten
  • Beziehungen zu Analysis und Optimierung
  • Quadratische Formen
  • Algebren mit Involution und lineare algebraische Gruppen
  • Logik und Modelltheorie

Nähere Informationen zu den Aktivitäten am Schwerpunkt finden sich auf der Seite der Forschungsinitiative Real Algebraic Geometry and Emerging Applications, der Seite der Arbeitsgruppe Modelltheorie, sowie den Seiten der Mitglieder.

Der Schwerpunkt kooperiert mit der Arbeitsgruppe in Differentialgeometrie.

Research group in Real Algebraic Geometry

The work of the Konstanz group in real algebraic geometry is concerned with specifically real questions in geometry and algebra. One studies objects that arise from modelling the "real" world. Typically, they are built up using the real numbers as the basis, corresponding to a line or to the time axis. Traditionally, algebraic geometry is working over the complex numbers. This allows an easier access to many questions, but comes at the cost of losing some ties to reality. Also, the traditional approach typically ignores aspects which are crucial for many "real" problems, like questions of positivity.

In 19th century, classical algebraic geometers had a well-developed sense for real questions. But for a long period in the 20th century, real algebraic geometry has been neglected. This began to change in the 70s and 80s, when the discovery of new algebraic and geometric methods made problems accessible which formerly had been beyond hope Currently, real algebraic geometry is a field in the middle of a rapid development along many lines.

The Konstanz group in real algebraic geometry is still young and in the process of being shaped. The research work done in Konstanz centers around the following subjects:

  • Algebraic geometry of real varieties
  • positive polynomials and sums of squares
  • connections to analysis and optimization
  • quadratic forms
  • algebras with involution and linear algebraic groups
  • logic and model theory

For more details please refer to the homepage of the Forschungsinitiative Real Algebraic Geometry and Emerging Applications (in English), the homepage of the  Model Theory Working Group (mainly in German) and the individual homepages of the members of the group.

The real algebraic geometry group cooperates with the group in differential geometry.